조건부확률의 개념 및 계산

기초 통계학 정리를 시작한지도 한달이 넘어가는 것 같은데요.

이제 확률의 덧셈법칙 중 조건부 확률 계산편에 들어가면서

점점 난이도가 붙고 있음을 느끼고 있습니다.

선천적 수학결핍증을 어떻게든 극복해야 할텐데...

무조건 노력과 정진밖에는 답이 없겠죠? 아자!!

 

저번시간에 이어서 큰 테마는 "확률의 덧셈법칙" 이구요.

이 중 오늘은 "조건부 확률의 정의" 를 알아보고 실제 계산문제를 통해

깔끔하게 마무리 해보도록 하겠습니다.

 

 조건부 확률의 개념

 조건부 확률이란 어떤 사건이 일어난 또는 일어날 조건하에서, 즉 변화된 표본공간에서

어떤사건이 일어날 확률을 의미합니다.

말이 어렵죠?

예를 들어 보겠습니다. 만약 주사위를 던졌을 때 나올수 있는 숫자는 1부터 6까지 입니다.

그 외의 숫자가 나오기는 어렵겠죠.

그런데 만약 주사위에서 나온 숫자를 지우면서 주사위를 던진다면,

처음 던져서 1이 나오면 1을 지우고 나머지 표본공간인 2-6 구간에서 다음 숫자가 나오게 됩니다.

즉 어떤 사건이 일어나면서 표본공간이 변화하게 되는데

이를 바로 조건부 확률이라고 합니다.

 

 

조건부 확률의 계산

 문제를 통해 조건부 확률을 계산해 보도록 하겠습니다.

만약 계양초등학교의 전체학생 3000명 중에서 여학생이 1500명이라고 가정해보겠습니다.

그리고 전체 중 3학년이 1000명이고 이 중 여학생이 500명이라고 한다면

전체 학생을 S, 여학생을 B, 3학년을 A라고 할때

아래와 같은 벤다이어 그램을 그릴수 있습니다.

 

 

이때 여학생 중 3학년의 구성을 구한다면 어떤 산식을 통해 구하게 될까요?

즉 사건 B가 발생했다는 조건하에서 사건 A가 발생해야

"여학생 중 3학년"을 구할 수 있을 것입니다.

그리고 이를 P(AlB) 라고 표현하여 "사건 B가 발생할 조건하에서 사건 A가 발생할 확률"

이라고 해석합니다.

 

그러므로 뽑힌 학생이 여학생이라는 조건 하에서 그 학생이 3학년일 확률은

P(3한년ㅣ여학생)으로 쓸 수 있고 뽑힌 학생이 3학년이란 조건하에서 그 학생이

여학생일 가능성은 P(여학생ㅣ 3학년)으로 표시합니다.

따라서 P(여학생ㅣ3학년)은 다음과 같이 계산됩니다.

 

  

그러므로 산식에 따라 대입하면 500/1000 이 되므로 0.50 즉

무작위로 한명을 뽑았을 때 그 학생이 여학생이면서 3학년일 확률은 50%가 되는 것입니다.

또한 공식으로 표기하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

조건부 확률의 계산은 통계학의 기초적인 부분으로

집합이론과 관련하여 중요한 의미를 가지는 만큼

꼭 기억해 둬야 할 것 같습니다.

그럼 이번 한주도 보람찬 한주 되세요~