확률의 곱셈법칙(multiplication law)과 의사결정수

드디어 확률의 덧셈법칙이 끝나고

오늘부턴 확률의 곱셈법칙과 의사결정수에 대해서 알아볼텐데요.

집합이론에서 덧셈과 곱셈은 합집합과 교집합을 표현하는 하나의 방법이니

개념을 알아보고 이에 맞는 문제를 풀어보면서

감을 키우는 게 중요하다고 생각합니다.

 

 

 확률의 곱셈법칙 (multiplication law)

확률의 덧셈법칙이 집합이론에서 합집합의 개념에 대응되는 확률이었다면

확률의 곱셈법칙은 집합이론에서 교집합의 개념에 대응되는 확률을 의미합니다.

그리고 교집합의 개념은 앞시간에 "조건부 확률"에서 개념을 이용한 적 있으므로

아래와 같은 공식이 성립합니다.

 

 

 

그러므로 상기 공식을 기준으로

교집합의 의미, 즉 확률의 곱셈법칙을 서술해 본다면

"B라는 사건이 발생했을때 동시에 A라는 사건이 일어날 확률과 B사건의 공통요소" 라고

표현할 수 있을 것입니다.

 

 확률의 곱셈법칙 예제

 

 예를 들어 한 상자에 파란 공이 3개, 노란공이 5개 있다고 했을 때 

뽑은 공을 다시 넣지 앟고 공 두개를 차례로 뽑는다면, 처음에 파란공 다음에 노란공이 나올

확률을 구해본다면 다음과 같은 산식이 성립합니다.

 

 

즉 파란공이 나올 확률과 파란공이 나온 상태에서 노란공이 나올 확률을 곱해주면

파란공과 노란공이 순차적으로 나올 확률을 계산할 수 있습니다.

 

그러므로 처음에 파란공이 뽑힐 확률은 공 8개 중 3개이므로 3/8

나중에 노란공이 뽑힐 확률은 파란공이 이미 뽑힌 상태이므로

공은 7개가 남은 상태에서 노란공 5개가 뽑힐 확률 5/7이 되고

3/8 과 5/7을 곱하면 15/56 의 확률이 산출됩니다.

 

또 다른 예시를 들어볼까요?

 

만약 성주초등학교의 총 학생수는 5000명이고 그 중 3학년은 1000명이고, 여학생은 2500명일때,

여학생 중에서 3학년인 학생은 6/25라면, 어느 학생을 무작위로 선택했을 때 그 학생이

3학년 여학생일 확률은 어떻게 될까요?

 

즉 전체 학생 중 한 학생이 뽑혔을 때 그 학생이 여학생일 확률과

여학생이면서 3학년일 확률을 곱하면

전체 학생 중 3학년이면서 여학생일 확률이 산출됩니다.

 

 

그렇다면 총 학생 중 여학생일 확률은 2500/5000 이고

여학생이면서 3학년일 확률은 6/25 이므로

이를 곱한 값인 6/50, 0.12가 확률값이 됩니다.

 

 

 의사결정수(decision tree)의 정의

곱셈법칙과 함께 알아봐야 하는 내용으로 의사결정수(decision tree)가 있습니다.

의사결정수는 "여러단계를 거치는 확률실험에서 나타날 수 있는 모든 가능한 결과를

그린 tree형태의 그림"을 의미합니다.

 

예를 들어 한 반에 남자가 10명, 여자가 5명으로 구성된 반에서

두사람을 차례로 뽑는다면, 처음에 남자가 뽑히고 다음에 여자가 뽑힐 확률은

어느정도일까요?

 

남자를 M, 여자를 F로 표현할 때 처음에 남자가 뽑히고 나중에 여자가 뽑힐 확률은

다음과 같이 산정할 수 있습니다.

 

 

그러므로 총인원 15명 중 남자가 뽑힐 확률은 10/15

다음에 여자가 뽑힐 확률은 5/14가 되고 이를 곱하면 50/210, 대락 23%의

확률값이 산출됩니다.

 

오늘은 집합연산의 교집합과 관련하여 확률의 곱셈법칙과 의사결정수에 대해서

알아봤는데요.

문제를 많이 풀어보는게 이해를 돕는 최선의 방법이라고 생각됩니다.

통계는 알게 모르게 일상생활에서도 많이 쓰이는 만큼

꼭 정리해 두시고 확실히 내것으로 만드는게 중요한 것 같아요.